Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Sinussatz

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	Sinussatz

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In einem Dreieck

$\includegraphics{geo_bild01}$

verhalten sich die Längen der Seiten wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel:

$\displaystyle \frac{\sin \alpha }{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma }{c}$

oder

$\displaystyle \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = a:b:c \,.$

Zur Herleitung des Sinussatzes unterteilt man das Dreieck mit Hilfe der Höhen jeweils in zwei rechtwinklige Dreiecke.

$\includegraphics{geo_bild10}$

Mit den Bezeichnungen in der Abbildung gilt

$\displaystyle \sin \alpha = \frac{h}{b} \,,\quad \sin \beta = \frac{h}{a} \,.$

Damit folgt

$\displaystyle \sin \alpha : \sin \beta = \dfrac{h}{b} : \dfrac{h}{a} = a:b\,.$

Die übrigen Verhältnisse können analog hergeleitet werden.

(Autor: Vorkurs Mathematik)

automatisch erstellt am 17. 3. 2011