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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Quadratische Suche

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Aus Approximationen $ x_{\ell-2}$, $ x_{\ell-1}$, $ x_\ell$ für das Minimum $ x_*$ einer Funktion $ f$ mit

$\displaystyle \Delta (x_\ell,x_{\ell-1},x_{\ell-2})\ f > 0 $

kann eine verbesserte Approximation durch Minimierung der interpolierenden Parabel bestimmt werden:

$\displaystyle x_{\ell+1} = \frac{1}{2} \left( x_\ell + x_{\ell-1} - \frac{\Delta(x_\ell,x_{\ell-1}) f} {\Delta(x_\ell,x_{\ell-1},x_{\ell-2}) f } \right). $

Fallen Punkte $ x_k$ zusammen, so sind die auftretenden Dividierten Differenzen mit Hilfe der entsprechenden Ableitungswerte zu berechnen.









\includegraphics[width=0.45\linewidth]{Bild_interp_Parabel.eps}

Ist $ f^{\prime\prime}(x_*)>0$, dann ist die quadratische Suche lokal konvergent. Insbesondere ist $ \Delta(x_\ell,x_{\ell-1},x_{\ell-2})f>0$ für $ x_k$ nahe bei $ x_*$, so dass die Methode immer durchführbar ist.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013