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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Kantorovich-Ungleichung


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Sei $ x \to y$ ein Schritt bei der Minimierung einer quadratischen Funktion

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2} x^\mathrm{t} A x - b^\mathrm{t} x
$

mit symmetrisch positiv definiter Matrix $ A$ durch die Methode des steilsten Abstiegs. Dann gilt

$\displaystyle \Vert y-x_*\Vert _A \le
\frac{\kappa-1}{\kappa+1} \Vert x-x_*\Vert _A
\,.
$

Dabei bezeichnet $ x_*=A^{-1}b$ die Lösung, die Kondition $ \kappa=\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ den Quotienten der extremalen Eigenwerte von $ A$ und $ \Vert z\Vert _A = \sqrt{z^\mathrm{t} Az}$.


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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013