Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Rang und Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

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	Rang und Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

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Übersicht

Für eine $m\times m$ -Matrix

und einen

-Vektor

hat das lineare Gleichungssystem

eine Lösung genau dann, wenn $\operatorname{Rang} A = \operatorname{Rang}(A,b)$ ;
eine eindeutige Lösung genau dann, wenn $\operatorname{Rang} A = \operatorname{Rang}(A,b)=n$ ;
unendliche viele Lösungen genau dann, wenn $\operatorname{Rang} A = \operatorname{Rang}(A,b)<n$ ;
keine Lösung genau dann, wenn $\operatorname{Rang} A < \operatorname{Rang}(A,b)$ .

Die Ränge von

und von der erweiterten Matrix

sind invariant unter elementaren Umformungen. Daher kann man annehmen, dass das lineare Gleichungssystem in Echelon - Form ist. In dieser Form lassen sich die Resultate unmittelbar ablesen.

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automatisch erstellt am 23. 5. 2011