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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Zusammenhang komplexer und reeller Fourier-Reihen

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Die komplexe Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x) =\sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k e^{\mathrm{i}kx} $

lässt sich auch in Sinus-Kosinus-Form darstellen:

$\displaystyle f(x) =\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left( a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right)\,. $

Für die Koeffizienten gelten dabei die Umrechnungsformeln

$\displaystyle a_0=2c_0,\quad a_k=c_k+c_{-k},\quad b_k=\mathrm{i}(c_k-c_{-k})\,,\quad(k\geq 1)\,, $

bzw.

$\displaystyle c_0=\frac{1}{2}a_0,\quad c_k=\frac{1}{2}(a_k -\mathrm{i}b_k)\,,\quad c_{-k}=\frac{1}{2}(a_k +\mathrm{i}b_k),\quad(k\geq 1)\,. $

Die Fourier-Reihe ist genau dann reell, wenn $ c_{-k}=\overline{c_k}$ gilt.
Aus der Formel von Euler-Moivre

$\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{i} t} = \cos t + \mathrm{i} \sin t $

folgt

$\displaystyle c_k \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} +c_{-k} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx} ... ...s(kx) + \mathrm{i}c_k \sin(kx) +c_{-k}\cos(kx) - \mathrm{i}c_{-k} \sin(kx)\, . $

Wegen der Symmetrie des Kosinus bzw. der Antisymmetrie des Sinus ist also

$\displaystyle a_k = c_k +c_{-k}\,,\quad b_k = \mathrm{i}(c_k -c_{-k})\, . $

Für reelle Koeffizienten gilt

$\displaystyle a_k = \bar{a}_k \land b_k = \bar{b}_k\,, $

d.h.

$\displaystyle c_k +c_{-k} = \bar{c}_k + \bar{c}_{-k} \land c_k - c_{-k} = -\bar{c}_k + \bar{c}_{-k}\,, $

und Addition der Gleichungen ergibt $ c_k = \bar{c}_{-k}$
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  automatisch erstellt am 8. 11. 2013