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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Ableitung der Umkehrfunktion

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Ist eine Funktion $ y=f(x)$ stetig differenzierbar mit $ f'(x)\ne 0$ , so ist $ f$ in einer Umgebung von $ x$ invertierbar, und es gilt

$\displaystyle (f^{-1})'(y) = f'(x)^{-1}, $

bzw. $ dx/dy = (dy/dx)^{-1}$ .

\includegraphics[width=.6\linewidth]{Abl_Umkehrfunktion.eps}

Wie in der Abbildung veranschaulicht, sind die Steigungen von $ f$ und $ f^{-1}$ reziprok.

Setzt man $ g=f^{-1}$ , so erhält man

$\displaystyle x = g(f(x))$

und nach Differentiation mit der Kettenregel

$\displaystyle 1 = g'(f(x))f'(x)\,.$

Mit $ y=f(x)$ folgt die Behauptung.

\includegraphics[width=.6\linewidth]{Umkehrfunktion_1.eps}

Daß die Steigungen von $ f$ und $ f^{-1}$ an ensprechenden Stellen $ x$ und $ y$ reziprok zueinander sind, wird auch klar, wenn man berücksichtigt, dass $ f$ und $ f^{-1}$ symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden sind.

(Autoren: App/Höllig )
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  automatisch erstellt am 8.  4. 2008