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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Taylor-Polynom

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Das Taylor-Polynom

$\displaystyle p_n(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n $

interpoliert die Ableitungen einer Funktion $ f$ im Punkt $ a$ bis zur Ordnung $ n$, d. h. $ p_n^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)\,,\; k= 0,\ldots ,n$. Ist $ f$ $ (n+1)$-mal stetig differenzierbar, so gilt

$\displaystyle f(x) = p_n(x) + R,\quad R = \frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} $

für ein $ t$ zwischen $ a$ und $ x$.

Direktes Nachrechnen zeigt die Übereinstimmung der Ableitungen von $ f$ und $ p_n$.

Zur Überprüfung des Restglieds $ R$ ergänzt man das Taylor-Polynom um einen weiteren Term:

$\displaystyle q(y) = p_n(y) + c (y-a)^{n+1}\,. $

Die Konstante $ c$ ist so gewählt, dass $ q(x)=f(x)$. Folglich hat $ q-f$ eine Nullstelle mit Vielfachheit $ n+1$ bei $ y=a$ und eine weitere Nullstelle bei $ y=x$, ingesamt also $ n+2$ Nullstellen. Nach dem Satz von Rolle muß die $ (n+1)$-te Ableitung mindestens eine Nullstelle $ t$ haben:

$\displaystyle 0 = q^{(n+1)}(t) - f^{(n+1)}(t) = c (n+1)! - f^{(n+1)}(t)\, . $

Aus

$\displaystyle R = f(x) - p_n(x) = q(x) - p_n(x) = c (x-a)^{n+1} $

ergibt sich die behauptete Form des Restglieds.

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  automatisch erstellt am 20.  7. 2016