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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1020: Iterative Parkettierung eines Quadrates

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Ein Quadrat $ Q$ mit Kantenlänge 1 soll durch kleinere Quadrate ausgefüllt werden und zwar nach folgendem Prinzip:

Es ist $ q\in \mathbb{R}$ mit $ q \geq 0$ fixiert. Im $ n$-ten Schritt wird dann in die Mitte einer jeden Kante ein Quadrat mit Kantenlänge $ q^n$ angelegt.

(a)
Wie muss $ q$ gewählt werden, damit Überschneidungen der Quadrate vermieden werden?
(b)
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $ q$ den von den Quadraten ausgelegten Flächeninhalt. Wie muss $ q$ gewählt werden, damit das Quadrat $ Q$ vollständig ausgefüllt wird?

\includegraphics[width=5cm]{parkett}

Zusatz zum Knobeln: Wie verändert sich die Situation, wenn man nach folgendem Prinzip vorgeht?

Im $ n$-ten Schritt wird in die Mitte einer Kante mit Kantenlänge $ a$ ein Quadrat mit Kantenlänge $ aq$ angelegt.

Lösung:

zu (a)
$ q \leq $ (auf 3 Dezimalen gerundet)
zu (b)
$ A(q) = $ $ \cdot q^\wedge$ / (1 - $ \cdot q^\wedge$ $ )$

$ A(q)=1 $ für $ q \geq $ (auf 3 Dezimalen gerundet)


   

(Aus: HM II Stroppel SS 2006)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017