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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1202: Eigenwerte und Eigenvektoren

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
$ A$, $ B$ seien reelle quadratische $ n \times n$-Matrizen. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a)
Zu jedem Eigenwert $ \lambda$ von $ A$ gibt es mindestens einen reellen Eigenvektor.
b)
Ist $ v \in \mathbb{R}^n$ und $ Av=\lambda v$, dann ist $ \lambda \in \mathbb{R}$.
c)
Ist Rang$ (A)=n$, dann bilden die Spalten von $ A$ eine Basis von $ \mathbb{R}^n$.
d)
$ A$ ist genau dann invertierbar, wenn jeder Eigenwert ungleich Null ist.
e)
$ A$ ist genau dann invertierbar, wenn alle Eigenwerte verschieden sind und in $ \mathbb{R}$ liegen.
f)
$ A$ ist genau dann invertierbar, wenn die Zeilen von $ A$ eine Basis von $ \mathbb{R}^n$ bilden.
g)
Ist $ \lambda$ ein Eigenwert von $ A$ und $ \mu$ ein Eigenwert von $ B$, dann ist $ \lambda \cdot \mu$ ein Eigenwert von $ A \cdot B$.
h)
Besitzen $ A$ und $ B$ den selben Eigenwert $ \lambda$ und sind $ v$ bzw. $ w$ Eigenvektoren von $ A$ bzw. $ B$ zu diesem ist gemeinsamen Eigenwert, dann ist $ v+w$ ein Eigenvektor von $ A+B$.
i)
Ist $ v \in \mathbb{R}^n$ ein Eigenvektor von $ A$ zum Eigenwert $ \lambda$, dann ist $ v$ ein Eigenvektor von $ A^n$ zum Eigenwert $ n \cdot \lambda$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

   
(Aus: Vorbereitungskurs LAAG)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017