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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1225: Eigenschaften reller Vektorräume, Multiple Choice

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Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen über Vektoren im $ \mathbb{R}^3$ wahr oder falsch sind.

a)
Die Vektoren $ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ , $ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$ und $ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$ sind linear unabhängig in $ \mathbb{R}^3$.

b)
Die Vektoren $ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ , $ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) $ und $ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) $ bilden ein Erzeugendensystem des $ \mathbb{R}^3$.

c)
Die Vektoren $ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ , $ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) $ und $ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) $ bilden eine Basis des $ \mathbb{R}^3$.

d)
Die Vektoren $ \left( \begin{array}{c} 7 \\ 5 \\ 12 \end{array} \right)$ und $ \left( \begin{array}{c} 21 \\ 15 \\ 36 \end{array} \right) $ können zu einer Basis des $ \mathbb{R}^3$ ergänzt werden.

e)
Der Vektor $ \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) $ liegt in der linearen Hülle der Vektoren $ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$ und $ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) $.

f)
Die Dimension des von den Vektoren $ \left( \begin{array}{c} 9 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right) $ , $ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 8 \end{array} \right)$ und $ \left( \begin{array}{c} 17 \\ -14 \\ -7 \end{array} \right)$ aufgespannten Untervektorraums des $ \mathbb{R}^3$ ist 3.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)

   
(Aus: Vorbereitungskurs LAAG)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017