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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1259: Satz von Lagrange, Multiple Choice

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Es seien $ G$ und $ H$ beliebige Gruppen und $ \varphi$ ein Gruppenhomomorphismus von $ G$ nach $ H$. Bestimmen Sie im folgenden Diagramm die noch nicht festgelegten Komponenten so, dass das Diagramm dem Homomorphiesatz von Gruppen entspricht.
\includegraphics{bild01}

Antwort:

Ist
$ X=$ker$ (\varphi)$
$ X=$im$ (\varphi)$
$ X=G/$ker$ (\varphi)$
$ X=G/\varphi(G)$
und
$ \kappa: \ G \longrightarrow X$ ein bijektiver
$ \kappa: \ G \longrightarrow X$ ein surjektiver
$ \kappa: \ X \longrightarrow G$ ein injektiver
Gruppenhomomorphismus, dann existiert ein
injektiver Gruppenhomorphismus $ \iota: \ X \longrightarrow H$,
bijektiver Gruppenhomorphismus $ \iota: \ H \longrightarrow X$,
surjektiver Gruppenhomorphismus $ \iota: \ H \longrightarrow X$,
so dass
$ \varphi=\iota \circ \kappa$
$ \kappa=\varphi^{-1} \circ \iota$
$ \varphi=\kappa \circ \iota$
$ \kappa=\iota \circ \varphi$
ist. Es gilt dann
$ G \cong \varphi(G)$
$ G/\varphi(G) \cong$   ker$ (\varphi)$
$ H \cong$   ker$ (\varphi)$
$ X \cong \varphi(G)$
.
   

(Aus: Vorbereitungskurs LAAG)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017