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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1479: Konvergenz der Jacobi-Iteration für die diskrere Poisson-Gleichung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Betrachten Sie die Iteration $ U \to V = 1 + SU$ mit

$\displaystyle v_{j,k} = 1 + (u_{j-1,k} + u_{j,k-1} + u_{j+1,k} + u_{j,k+1})/4,\quad 0<j,k<n \,, $

mit den Randwerten $ u_{j,k} = 0$ für $ j,k\in\{0,n\}$. Zeigen Sie, dass

$\displaystyle u_{j,k} = \sin(\alpha j)\sin(\beta k),\quad n\alpha/\pi,n\beta/\pi\in\{1,\ldots,n-1\} \,, $

Eigenvektoren von $ S$ ( $ V = \lambda_{\alpha,\beta} U$) sind, und bestimmen Sie die Konvergenzrate der Iteration in Abhängigkeit von $ n$.

Antwort:

Konvergenzrate für $ n=10$:
   
(Autor: Höllig)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017