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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 15: Homogene lineare Differentialgleichung dritter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Differentialgleichung

$\displaystyle y'''-3y'+2y=0\,.$

Bestimmen Sie die Nullstellen $ z_1$ -$ z_3$ des zugehörigen char. Polynoms und geben Sie diese mit aufsteigenden Beträgen und danach mit aufsteigenden Argumenten ( $ \in [0,2\pi)$ ) sortiert ein.

$ z_1=$ $ +$ i $ z_2=$ $ +$ i $ z_3=$ $ +$ i

Geben Sie an, welcher Ansatz zur reellen Lösung der Differentialgleichung für das Fundamentalsystem gewählt werden muß.

keine Angabe  
Ansatz 1 $ y_1(x)=e^{z_1x}$ ; $ y_2(x)=e^{z_2x}$ ; $ y_3(x)=e^{z_3x}$
Ansatz 2 $ y_1(x)=e^{z_1x}$ ; $ y_2(x)=e^{\operatorname{Re}(z_2)x} \sin(\operatorname{Im}(z_2)x)$ ; $ y_3(x)=e^{\operatorname{Re}(z_3)x} \cos(\operatorname{Im}(z_3)x)$ ;
Ansatz 3 $ y_1(x)=e^{z_1x}$ ; $ y_2(x)=xe^{z_2x}$ ; $ y_3(x)=e^{z_3x}$

Bestimmen Sie die Konstanten $ c_1$ -$ c_3$ so, daß

$\displaystyle y=c_1y_1+c_2y_2+c_3y_3 $

das Anfangswertproblem

$\displaystyle y(0)=0;\, y'(0)=0;\, y''(0)=9 $

löst.

$ c_1=$ $ c_2=$ $ c_3=$

   

(Autor: Andreas App)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017