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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1749 Variante 6: l'Hospital und Umkehrfunktion

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Variante   
Gegeben seien die Funktionen

$\displaystyle f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\mapsto 5\sin\left(-\dfrac{x-5}{3}\right)\,$        und        $\displaystyle \, g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\mapsto -6x\left(\mathrm{e}^{-\frac{x-5}{8}}-1\right).$    

(a)
In einer Umgebung von $x_0=5$ besitzt $f$ eine Umkehrfunktion $f^{-1}$ und $g$ eine Umkehrfunktion $g^{-1}.$ Bestimmen Sie die erste Ableitung von $f^{-1}$ im Punkt $f(x_0) = f(5)$ und die erste Ableitung von $g^{-1}$ im Punkt $g(x_0) = g(5).$

Geben Sie alle Brüche vollständig gekürzt und mit positivem Nenner an.

(1)      $\displaystyle \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d\hspace*{.35mm}y}\hspace*{.35mm} f^{-1}(y)\right\vert _{y=f(5)}$ $= $   /   .
         
(2)      $\displaystyle \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d\hspace*{.35mm}y}\hspace*{.5mm} g^{-1}(y)\right\vert _{y=g(5)}$ $= $   /   .

(b)
Bestimmen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte. Falls ein reeller Grenzwert existiert, tragen Sie diesen ein. Anderenfalls lassen Sie die Kästchen für Zähler und Nenner frei.

Geben Sie alle Brüche vollständig gekürzt und mit positivem Nenner an.

(1)      $\displaystyle\lim\limits_{x\to 5} \frac{f(x)}{g(x)}$     existiert nicht, existiert und hat den Wert    /   .
             
(2)      $\displaystyle\lim\limits_{x\to 5} \frac{f^{-1}(x-5)}{g^{-1}(x-5)-5}$     existiert nicht, existiert und hat den Wert    /   .

  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 20. 11. 2024