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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1749 Variante 21: Basiswechsel und Abbildungen

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Variante   
Sei $E\colon (1,0){^{^{\scriptstyle\intercal}}}, (0,1){^{^{\scriptstyle\intercal}}}$ die Standardbasis des $\mathbb{R}^2.$ Die Basis $A$ von $\mathbb{R}^3$ und die Basis $B$ von $\mathbb{R}^2$ seien gegeben durch

$\displaystyle A\colon \begin{pmatrix}6\\ -3\\ -8\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}6\\ -1\\ -5\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 9\end{pmatrix}$       und        $\displaystyle B\colon\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}.$    

Weiterhin sei $\varphi\colon\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2$ die lineare Abbildung, welche die folgenden Bedingungen erfüllt:

$\displaystyle \varphi\begin{pmatrix}6\\ -3\\ -8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\... ...\varphi\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\ 2\end{pmatrix}.$    

(a) Bestimmen Sie die Matrix ${{\strut}_{E}^{}\hspace*{.4mm}{\strut\varphi}_{\!A}^{}}\hspace*{.25mm}.$

${{\strut}_{E}^{}\hspace*{.4mm}{\strut\varphi}_{\!A}^{}} = \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{5ex}\right)$

(b) Bestimmen Sie die Matrix ${{\strut}_{B}^{}\hspace*{.4mm}{\strut\varphi}_{\!A}^{}}\hspace*{.25mm}.$

${{\strut}_{B}^{}\hspace*{.4mm}{\strut\varphi}_{\!A}^{}} = \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{5ex}\right)$

(c) Ergänzen Sie die Koordinaten des Vektors $v\in\mathbb{R}^3$ bezüglich der Basis $A$ so, dass ${{\strut}_{B}^{}{(\varphi(v))}} = (-13,18){^{^{\scriptstyle\intercal}}}$ gilt.

${{\strut}_{A}^{}{v}} = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.2$ ,  ,  $\left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\intercal}}}$

(d) Sei nun der Untervektorraum

$\displaystyle U:= \mathop{\kern0mm\mathrm{L}}\left((6,-1,-5){^{^{\scriptstyle\intercal}}},(6,-3,-8){^{^{\scriptstyle\intercal}}}\right)\subseteqq \mathbb{R}^3$

mit Basis $C\colon(6,-1,-5){^{^{\scriptstyle\intercal}}},(6,-3,-8){^{^{\scriptstyle\intercal}}}$ gegeben. Sei außerdem

$\displaystyle f\colon U \longrightarrow \mathbb{R}^2\colon x\longmapsto \varphi(x)$    

die Einschränkung von $\varphi$ auf $U$. Bestimmen Sie die Matrix ${{\strut}_{B}^{}\hspace*{.4mm}{\strut f}_{\hspace*{-.3mm}C}^{}}\hspace*{.25mm}.$

${{\strut}_{B}^{}\hspace*{.4mm}{\strut f}_{\hspace*{-.3mm}C}^{}} = \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{5ex}\right)$

  

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21.  5. 2026