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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1749 Variante 25: Determinanten, Eigenwerte und Gleichungssysteme

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Variante   
Gegeben seien die Matrizen

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2-{\text i}&2-{\text i}\\ 3+3{\text i}&2-2{... ...{\text i}&-2-{\text i}\\ 2-2{\text i}&3+3{\text i} \end{pmatrix}\hspace*{0mm}. $

(a) Bestimmen Sie die folgenden Determinanten:

$\det\hspace*{-.25mm}{(A)}$ $=$   $+$    ${\text{i}}\,,$
$\det\hspace*{-.25mm}{(B)}$ $=$   $+$    ${\text{i}}\,,$
$\det\hspace*{-.25mm}{(2C)}$ $=$   $+$    ${\text{i}}\,.$

(b) Geben Sie an, ob $\lambda = 0$ ein Eigenwert der folgenden Matrizen ist:

$\lambda = 0$ ist ein Eigenwert, kein Eigenwert der Matrix $AB.$
$\lambda = 0$ ist ein Eigenwert, kein Eigenwert der Matrix $A+C.$
$\lambda = 0$ ist ein Eigenwert, kein Eigenwert der Matrix $CBA.$

(c) Gegeben seien die Vektoren

$\displaystyle b_1 = \begin{pmatrix} 1+4{\text i}\\ -3+{\text i} \end{pmatrix},... ...b_2 = \begin{pmatrix} 5+5{\text i}\\ -1-{\text i} \end{pmatrix}\hspace*{0mm}. $

Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme $Av_1 = b_1\,,\, Bv_2 = b_2$  und  $Cv_3 = b_1\,.$

$v_1 = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$   $+$    ${\text{i}}\,,$    $+$    ${\text{i}}\left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\intercal}}},$
$v_2 = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$   $+$    ${\text{i}}\,,$    $+$    ${\text{i}}\left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\intercal}}},$
$v_3 = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$   $+$    ${\text{i}}\,,$    $+$    ${\text{i}}\left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$

(d) Gegeben sei der Vektorraum $\mathbb{C}^2$ über $\mathbb{C}$ mit den Basen

  $\displaystyle E \colon \begin{pmatrix}1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix}$       und     $\displaystyle F\colon \begin{pmatrix}-2-{\text i}\\ -2-3{\text i} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1-3{\text i}\\ 3+{\text i} \end{pmatrix}.$    

Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors ${\strut}_{E}^{}{v} = (5+5{\text i},-1-{\text i})^{^{^{\scriptstyle\intercal}}}$ bezüglich der Basis $F.$

${\strut}_{F}^{}{v} = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$   $+$    ${\text{i}}\,,$    $+$    $\,{\text{i}}\left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$

  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  7. 2025