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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1749 Variante 51: Gradient

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Variante   
(a) Gegeben seien die Funktion

$\displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\colon\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix} \mapsto 6x_1^2-2x_1 x_2^3-5$    

sowie

$\displaystyle P_1 = \begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix}, \quad P_2 = \begin{pmat... ...nd{pmatrix}, \quad v_1 = \dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix}.$    

Berechnen Sie:

$\displaystyle\mathop{\mathrm{grad}} f(P_1) = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$  , $\left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\intercal}}}$ ,          $\displaystyle\partial_{v_1} f(P_2) = \dfrac{1}{\sqrt{13}}$  .

(b) Gegeben seien die Funktion

$\displaystyle g\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\colon \begin{pmatrix}x\\ y\\ z \end{pmatrix} \mapsto \exp\left(-2z( x -4)^2-10( y +4)^3\right)$    

sowie

$\displaystyle P_3 = \begin{pmatrix}5\\ -5\\ 5\end{pmatrix}, \quad P_4 = \begin{... ...\\ -3\\ -5 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}-1\\ -2\\ 10\end{pmatrix}.$    

Berechnen Sie:

$\displaystyle\mathop{\mathrm{grad}} g(P_3) = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$  ,  , $\left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\intercal}}}$ ,          $\displaystyle\partial_{v_2} g(P_4) = $  .

(c) Gegeben seien die vom Parameter $n \in \mathbb{N}$ abhängige Funktion

$\displaystyle h_{n}\colon \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ ... ...}x\\ y\\ z \end{pmatrix} \mapsto \ln\left(3x^2+3ny(z-1)^2+3x^{-1}\right)+3ny^3z$    

sowie

$\displaystyle P_5 = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}, \quad P_6 = \begin{... ...matrix}, \quad v_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 1\end{pmatrix}.$    

(i)
Berechnen Sie für $n = 1:$

$\displaystyle\mathop{\mathrm{grad}} h_{1}(P_5) = \dfrac{1}{2}\left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$  ,  , $\left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\intercal}}}$ ,          $\displaystyle\partial_{v_3} h_{1}(P_6) = \frac{1}{\sqrt{3}}$  .

(ii)
Bestimmen Sie $n$ so, dass

$\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial y\partial z}\,h_{n} (P_5) = 27$    

gilt, und geben Sie für dieses $n$ auch den Wert  $\dfrac{\partial^2}{\partial z\partial y}\,h_{n} (P_5)$  an.

$n = $  ,         $\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial z\partial y}\,h_{n} (P_5) = $  .


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 18. 12. 2024