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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1749 Variante 52: Eigenwerte und Eigenvektoren

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Variante   
Gegeben sei die Matrix

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 5&-3&-8&7\\ 2&-2&-4&5\\ 2&-3&-3&5\\ 2&-4&-4&7 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times 4}.$    

(a) Gegeben seien außerdem die Vektoren

$\displaystyle v_1 = \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -1\\ -1 \end{pmatrix}, \quad v_2 =... ...\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}, \quad v_4 = \begin{pmatrix}3\\ 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}.$    

Untersuchen Sie, ob $v_1,\, v_2,\, v_3$ und $v_4$ Eigenvektoren von $A$ sind, und geben Sie zu jedem Eigenvektor den zugehörigen Eigenwert an. Ist ein Vektor kein Eigenvektor, so lassen Sie den Kasten für $\lambda$ bitte frei.

Antwort:

$v_1$ ist: kein Eigenvektor, ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ =
$v_2$ ist: kein Eigenvektor, ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ =
$v_3$ ist: kein Eigenvektor, ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ =
$v_4$ ist: kein Eigenvektor, ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ =

(b) Welches $\lambda\in\{3,-2,-3\}$ ist ein Eigenwert von $A$ ? Bestimmen Sie zu $\lambda$ auch einen zugehörigen Eigenvektor $v$.

Antwort:

$\lambda$ =  ,      $v = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right. $ ,  , $1$ ,  $1 \left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$

(c) Bestimmen Sie die Spur und die Determinante der Matrix $A$.

Antwort:

$\mathop{\mathrm{Sp}}\hspace*{.25mm}(A)$ =  ,      $\mathop{\mathrm{det}}\hspace*{.25mm}(A)$ =  .

(d) Bestimmen Sie eine zu $A$ konjugierte Diagonalmatrix $D$ so, dass die Abbildung

$\displaystyle \alpha \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4\colon v \mapsto Dv + t, \quad t = (-8,-6,0,0){^{^{\scriptstyle\intercal}}}$    

den Fixpunkt $P = (8,3,0,0){^{^{\scriptstyle\intercal}}}$ hat.

Antwort:

$D = \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
${0}$ ${0}$ ${0}$
${0}$ ${0}$ ${0}$
${0}$ ${0}$ ${0}$
${0}$ ${0}$ ${0}$
$\left.\rule{0pt}{10ex}\right).$

  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 27.  6. 2024