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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1749 Variante 61: Partialbruchzerlegung und Stammfunktionen

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Variante   
(a) Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\colon x \mapsto \frac{ -7x^3 -17x^2 -45x -45}{( x +3)^2( x^2 +9)}. $

(i) Kreuzen Sie den geeigneten Ansatz für die reelle Partialbruchzerlegung von $f$ an.

$\displaystyle f(x) = \frac{A}{( x +3)^2} + \frac{Cx+D}{( x -3)^2}$         
$\displaystyle f(x) = \frac{A}{ x +3} + \frac{B}{( x +3)^2} + \frac{C}{ x^2 +9}$         
$\displaystyle f(x) = \frac{A}{ x +3} + \frac{B}{( x +3)^2} + \frac{C}{ x -3} + \frac{D}{ x +3}$         
$\displaystyle f(x) = \frac{Ax+B}{( x +3)^2} + \frac{Cx+D}{ x^2 +9}$         
$\displaystyle f(x) = \frac{Ax+B}{ x +3} + \frac{C}{ x -3} + \frac{D}{( x -3)^2}$         
$\displaystyle f(x) = \frac{A}{ x +3} + \frac{B}{ x -3} + \frac{Cx+D}{ x^2 +9}$         
$\displaystyle f(x) = \frac{A}{ x +3} + \frac{B}{( x +3)^2} + \frac{Cx+D}{ x^2 +9}$         

(ii) Führen Sie die reelle Partialbruchzerlegung für $f(x)$ durch und bestimmen Sie die Konstanten $A$, $B$, $C$ und $D$ für den passenden Ansatz aus Aufgabenteil (i).

Falls eine Konstante nicht benötigt wird, lassen Sie das entsprechende Kästchen frei.

$A=$  ,    $B=$  ,    $C=$  ,    $D=$  .

(b) Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\colon x \mapsto ( 2x^2 -5x -18)\sqrt[3]{\mathrm{e}^{x}}. $

Berechnen Sie:

$\displaystyle\int_0^{3} g(x)\,\mathrm{d}x = $  .

(c) Die Funktion $h\colon[-9,6]\to\mathbb{R}$ besitze eine Stammfunktion, und es gelte:

$\displaystyle \int_{-9}^{3} h(x) \,\mathrm{d}x=-7, \quad \int_{-9}^{6} h(x) \,\mathrm{d}x=-6, \quad \int_{-6}^{6} h(x) \,\mathrm{d}x=3. $

Bestimmen Sie hiermit den folgenden Wert:

$\displaystyle\int_{-6}^{3} h(x) \,\mathrm{d}x = $  .

  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 4. 12. 2024