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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1750 Variante 12: Rotation und Potential

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Variante   
Gegeben sei das vom Parameter $\alpha\in\mathbb{R}$ abhängige Vektorfeld

$\displaystyle g_{\alpha} \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \colon \begin{pma... ...e*{.35mm}\mathrm{e}^{\hspace*{.25mm}\cos\hspace*{.25mm}(\pi xz)} \end{pmatrix}.$    

(a) Bestimmen Sie den Wert des Parameters $\alpha$ so, dass $g_{\alpha}$ konservativ ist.

$\alpha = $

(b) Berechnen Sie mit $\alpha$ aus (a) die Werte $g_{\alpha}(2,3,-5)$ und $\operatorname{rot} g_{\alpha}(2,3,-5).$

$g_{\alpha}(2,3,-5) = \mathrm{e}\left(\rule{0pt}{7.5ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{7.5ex}\right),$
    
$\operatorname{rot} g_{\alpha}(2,3,-5) = \left(\rule{0pt}{7.5ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{7.5ex}\right)$

(c) Bestimmen Sie mit $\alpha$ aus (a) ein Potential $f$ von $g_{\alpha}$ so, dass $f(0,0,0) = 0$ gilt.
Geben Sie dann den folgenden Wert an:

$f(2,3,-5) = \mathrm{e}$

(d) Berechnen Sie für das Potential $f$ aus (c) das Kurvenintegral längs der Kurve $K$, die die Strecke von $(2,6,0){^{^{\scriptstyle\intercal}}}$ nach $(3,9,0){^{^{\scriptstyle\intercal}}}$ beschreibt.

$\displaystyle\int\limits_K f(s) \mathop{\mathrm{\kern0pt d}}s = \sqrt{10}\,\mathrm{e}$


  

[Verweise]
  automatisch erstellt am 29.  1. 2025