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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1751 Variante 6: Transformation und erweiterte Matrix

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Variante   
Gegeben ist der Vektorraum $\mathbb{R}^4$ über $\mathbb{R}$ mit dem Standardkoordinatensystem $\mathbb{E}:=(O;\mathrm{e}_1,\mathrm{e}_2,\mathrm{e}_3,\mathrm{e}_4)$, dem affinen Koordinatensystem

$\displaystyle \mathbb{F}:=\left( \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\\ -1\end{pmatrix};\be... ...0\\ -2\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -2\\ -2\end{pmatrix}\right)$    

und der Quadrik

$\displaystyle \mathcal{Q}:=\{x \in \mathbb{R}^4 \,\vert\,2x_1^2+4x_1x_2+4x_1x_3-6x_1x_4+2x_2^2+4x_2x_3-6x_2x_4-2x_3^2-6x_3x_4+2x_4^2-2x_1+4x_2+4x_3+4x_4-1 = 0\}.$    

(a) Bestimmen Sie die Koordinatentransformation ${{\strut}_{\mathbb{F}}^{}\kappa{\strut}_{\mathbb{E}}^{}} \colon \mathbb{R}^4 \t... ...b{R}^4\colon{{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}} \mapsto {{\strut}_{\mathbb{F}}^{}{v}}$.

Antwort:

${{\strut}_{\mathbb{F}}^{}\kappa{\strut}_{\mathbb{E}}^{}} \left({{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}\right) = \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{10ex}\right){{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}$ $+$ $\left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{10ex}\right)$

(b) Bestimmen Sie die erweiterte Matrix $A_{\text{erw}}$ für $\mathcal{Q}$.

Antwort:

$A_{\text{erw}} = \left(\rule{0pt}{12ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{12ex}\right)$

(c) Bestimmen Sie den Rang der erweiterten Matrix $A_{\text{erw}}$ und den Rang der symmetrischen Matrix $A$, die den quadratischen Teil von $\mathcal{Q}$ beschreibt.

Geben Sie außerdem an, um welchen Quadriktyp es sich handelt.

Antwort:

$\mathop{\text{Rang}}(A_{\text{erw}})$ = , $\mathop{\text{Rang}}(A)$ =

Die Quadrik $\mathcal{Q}$ ist eine kegelige Quadrik, eine Mittelpunktsquadrik, eine parabolische Quadrik.

(d) Bestimmen Sie die Quadrikgleichung in Koordinaten bezüglich $\mathbb{F}$ und geben Sie die symmetrische Matrix $B\in\mathbb{R}^{4\times 4}$, den Spaltenvektor $b\in\mathbb{R}^4$ und $d\in\mathbb{R}$ an, sodass gilt

$\displaystyle \mathcal{Q}=\left\{x\in \mathbb{R}^4 \,\left\vert\,{{\strut}_{\ma... ...^{^{\scriptstyle\intercal}}}{{\strut}_{\mathbb{F}}^{}}x + d = 0\right.\right\}.$    

Antwort:

$B = \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{10ex}\right)$
,
$b = \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{10ex}\right)$
,$d$ =

  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  7. 2024