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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 10: Quadriken

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Variante   
(a)
Bestimmen Sie den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q_1\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, 3x_1^2+5x_2^2-5x_3^2+8x_1x_2-2x_1x_3-10x_1-2x_2+4x_3-4\, =\, 0\}. $

$Q_1$  ist eine      kegelige Quadrik,      Mittelpunktsquadrik,      parabolische Quadrik.

(b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Mittelpunktsquadrik

$\displaystyle Q_2\, =\, \{x\in\mathbb{R}^2\, \vert\, 45x_1^2+30x_2^2+90x_1-60x_2+72\, =\, 0\} $

in der Form  $\lambda_1\hspace*{.3mm}z_1^2\, +\, \lambda_2\hspace*{.3mm}z_2^2\, +\, 1\, =\, 0$  mit $\lambda_1 < \lambda_2$  an.

$Q_2$  besitzt die euklidische Normalform      $z_1^2 \ + \ $ $z_2^2 \ + \ 1 \ = \ 0.$

(c)
Geben Sie den Mittelpunkt $M$ von  $Q_2$  in Standardkoordinaten an.

${{\strut}_{\mathbb{E}}^{}M} \ = \ \Big($    ,    $\Big){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$
(d)
Welche geometrische Gestalt besitzt die Quadrik

$\displaystyle Q_3\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, -x_1^2+6x_2^2-18x_1+12\, =\, 0\}\,? $

$Q_3$  beschreibt einen Doppelkegel,              zwei parallele Geraden,
  einen hyperbolischen Zylinder,              eine Ellipse,
  zwei parallele Ebenen,              eine Hyperbel,
  ein elliptisches Paraboloid,              ein einschaliges Hyperboloid,
  einen elliptischen Zylinder,              zwei sich schneidende Parabeln,
  zwei sich schneidende Geraden,              eine Parabel,
  einen parabolischen Zylinder,              ein hyperbolisches Paraboloid,
  ein parabolisches Hyperboloid,              zwei sich schneidende Ebenen,
  ein zweischaliges Hyperboloid,              ein Ellipsoid.


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 3.  7. 2025