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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 12: Quadriken

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Variante   
(a)
Bestimmen Sie den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q_1\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, x_2^2+3x_3^2-6x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3-4x_1+6x_2-10x_3-1\, =\, 0\}. $

$Q_1$  ist eine      kegelige Quadrik,      Mittelpunktsquadrik,      parabolische Quadrik.

(b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Mittelpunktsquadrik

$\displaystyle Q_2\, =\, \{x\in\mathbb{R}^2\, \vert\, 20x_1^2-30x_2^2+80x_1+60x_2+48\, =\, 0\} $

in der Form  $\lambda_1\hspace*{.3mm}z_1^2\, +\, \lambda_2\hspace*{.3mm}z_2^2\, +\, 1\, =\, 0$  mit $\lambda_1 < \lambda_2$  an.

$Q_2$  besitzt die euklidische Normalform      $z_1^2 \ + \ $ $z_2^2 \ + \ 1 \ = \ 0.$

(c)
Geben Sie den Mittelpunkt $M$ von  $Q_2$  in Standardkoordinaten an.

${{\strut}_{\mathbb{E}}^{}M} \ = \ \Big($    ,    $\Big){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$
(d)
Welche geometrische Gestalt besitzt die Quadrik

$\displaystyle Q_3\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, -x_1^2+2x_2^2+12x_1-12\, =\, 0\}\,? $

$Q_3$  beschreibt ein einschaliges Hyperboloid,              zwei sich schneidende Geraden,
  einen elliptischen Zylinder,              ein hyperbolisches Paraboloid,
  eine Ellipse,              ein zweischaliges Hyperboloid,
  eine Parabel,              ein parabolisches Hyperboloid,
  zwei parallele Geraden,              ein elliptisches Paraboloid,
  zwei sich schneidende Ebenen,              eine Hyperbel,
  einen hyperbolischen Zylinder,              einen Doppelkegel,
  einen parabolischen Zylinder,              zwei parallele Ebenen,
  zwei sich schneidende Parabeln,              ein Ellipsoid.


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 3.  7. 2025