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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 14: Quadriken

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Variante   
(a)
Bestimmen Sie den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q_1\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, x_1^2+x_2^2-2x_3^2-6x_1x_2-8x_1x_3+8x_1-10x_2+2x_3-4\, =\, 0\}. $

$Q_1$  ist eine      kegelige Quadrik,      Mittelpunktsquadrik,      parabolische Quadrik.

(b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Mittelpunktsquadrik

$\displaystyle Q_2\, =\, \{x\in\mathbb{R}^2\, \vert\, 16x_1^2-8x_2^2-64x_1-64x_2-66\, =\, 0\} $

in der Form  $\lambda_1\hspace*{.3mm}z_1^2\, +\, \lambda_2\hspace*{.3mm}z_2^2\, +\, 1\, =\, 0$  mit $\lambda_1 < \lambda_2$  an.

$Q_2$  besitzt die euklidische Normalform      $z_1^2 \ + \ $ $z_2^2 \ + \ 1 \ = \ 0.$

(c)
Geben Sie den Mittelpunkt $M$ von  $Q_2$  in Standardkoordinaten an.

${{\strut}_{\mathbb{E}}^{}M} \ = \ \Big($    ,    $\Big){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$
(d)
Welche geometrische Gestalt besitzt die Quadrik

$\displaystyle Q_3\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, -x_1^2+4x_2^2+12x_1-15\, =\, 0\}\,? $

$Q_3$  beschreibt einen Doppelkegel,              ein elliptisches Paraboloid,
  einen parabolischen Zylinder,              ein Ellipsoid,
  zwei parallele Ebenen,              eine Parabel,
  zwei sich schneidende Parabeln,              ein hyperbolisches Paraboloid,
  eine Hyperbel,              zwei sich schneidende Geraden,
  ein parabolisches Hyperboloid,              eine Ellipse,
  einen elliptischen Zylinder,              einen hyperbolischen Zylinder,
  zwei sich schneidende Ebenen,              zwei parallele Geraden,
  ein zweischaliges Hyperboloid,              ein einschaliges Hyperboloid.


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 3.  7. 2025