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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 17: Quadriken

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Variante   
(a)
Bestimmen Sie den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q_1\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, x_1^2-x_2^2+6x_1x_2+10x_1x_3-10x_2x_3-6x_1+10x_2+2x_3-1\, =\, 0\}. $

$Q_1$  ist eine      kegelige Quadrik,      Mittelpunktsquadrik,      parabolische Quadrik.

(b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Mittelpunktsquadrik

$\displaystyle Q_2\, =\, \{x\in\mathbb{R}^2\, \vert\, 48x_1^2-30x_2^2-96x_1-60x_2+16\, =\, 0\} $

in der Form  $\lambda_1\hspace*{.3mm}z_1^2\, +\, \lambda_2\hspace*{.3mm}z_2^2\, +\, 1\, =\, 0$  mit $\lambda_1 < \lambda_2$  an.

$Q_2$  besitzt die euklidische Normalform      $z_1^2 \ + \ $ $z_2^2 \ + \ 1 \ = \ 0.$

(c)
Geben Sie den Mittelpunkt $M$ von  $Q_2$  in Standardkoordinaten an.

${{\strut}_{\mathbb{E}}^{}M} \ = \ \Big($    ,    $\Big){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$
(d)
Welche geometrische Gestalt besitzt die Quadrik

$\displaystyle Q_3\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, x_2^2-9x_1+6x_2+10\, =\, 0\}\,? $

$Q_3$  beschreibt einen elliptischen Zylinder,              ein einschaliges Hyperboloid,
  zwei parallele Geraden,              eine Hyperbel,
  zwei sich schneidende Ebenen,              zwei sich schneidende Parabeln,
  ein elliptisches Paraboloid,              zwei sich schneidende Geraden,
  ein zweischaliges Hyperboloid,              ein Ellipsoid,
  ein hyperbolisches Paraboloid,              einen parabolischen Zylinder,
  eine Ellipse,              ein parabolisches Hyperboloid,
  eine Parabel,              einen hyperbolischen Zylinder,
  zwei parallele Ebenen,              einen Doppelkegel.


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 3.  7. 2025