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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 18: Quadriken

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Variante   
(a)
Bestimmen Sie den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q_1\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, 5x_1^2+5x_2^2+x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3+10x_2x_3+10x_2+2x_3+4\, =\, 0\}. $

$Q_1$  ist eine      kegelige Quadrik,      Mittelpunktsquadrik,      parabolische Quadrik.

(b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Mittelpunktsquadrik

$\displaystyle Q_2\, =\, \{x\in\mathbb{R}^2\, \vert\, 24x_1^2-24x_2^2+48x_1+96x_2-78\, =\, 0\} $

in der Form  $\lambda_1\hspace*{.3mm}z_1^2\, +\, \lambda_2\hspace*{.3mm}z_2^2\, +\, 1\, =\, 0$  mit $\lambda_1 < \lambda_2$  an.

$Q_2$  besitzt die euklidische Normalform      $z_1^2 \ + \ $ $z_2^2 \ + \ 1 \ = \ 0.$

(c)
Geben Sie den Mittelpunkt $M$ von  $Q_2$  in Standardkoordinaten an.

${{\strut}_{\mathbb{E}}^{}M} \ = \ \Big($    ,    $\Big){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$
(d)
Welche geometrische Gestalt besitzt die Quadrik

$\displaystyle Q_3\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, -x_2^2+5x_1+6x_2-12\, =\, 0\}\,? $

$Q_3$  beschreibt ein Ellipsoid,              zwei parallele Geraden,
  eine Parabel,              einen elliptischen Zylinder,
  zwei sich schneidende Geraden,              einen hyperbolischen Zylinder,
  ein parabolisches Hyperboloid,              zwei sich schneidende Parabeln,
  ein elliptisches Paraboloid,              eine Ellipse,
  ein hyperbolisches Paraboloid,              einen Doppelkegel,
  einen parabolischen Zylinder,              ein zweischaliges Hyperboloid,
  ein einschaliges Hyperboloid,              zwei sich schneidende Ebenen,
  zwei parallele Ebenen,              eine Hyperbel.


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 3.  7. 2025