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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 20: Quadriken

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Variante   
(a)
Bestimmen Sie den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q_1\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, x_1^2+4x_2^2+4x_3^2-8x_1x_2-4x_1x_3+10x_2x_3+2x_2-2x_3+2\, =\, 0\}. $

$Q_1$  ist eine      kegelige Quadrik,      Mittelpunktsquadrik,      parabolische Quadrik.

(b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Mittelpunktsquadrik

$\displaystyle Q_2\, =\, \{x\in\mathbb{R}^2\, \vert\, 20x_1^2-12x_2^2+40x_1+24x_2+6\, =\, 0\} $

in der Form  $\lambda_1\hspace*{.3mm}z_1^2\, +\, \lambda_2\hspace*{.3mm}z_2^2\, +\, 1\, =\, 0$  mit $\lambda_1 < \lambda_2$  an.

$Q_2$  besitzt die euklidische Normalform      $z_1^2 \ + \ $ $z_2^2 \ + \ 1 \ = \ 0.$

(c)
Geben Sie den Mittelpunkt $M$ von  $Q_2$  in Standardkoordinaten an.

${{\strut}_{\mathbb{E}}^{}M} \ = \ \Big($    ,    $\Big){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$
(d)
Welche geometrische Gestalt besitzt die Quadrik

$\displaystyle Q_3\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, -x_1^2-3x_2^2+12x_1-11\, =\, 0\}\,? $

$Q_3$  beschreibt ein Ellipsoid,              zwei parallele Ebenen,
  zwei sich schneidende Parabeln,              zwei sich schneidende Geraden,
  zwei sich schneidende Ebenen,              ein einschaliges Hyperboloid,
  einen parabolischen Zylinder,              eine Parabel,
  ein elliptisches Paraboloid,              einen Doppelkegel,
  einen hyperbolischen Zylinder,              einen elliptischen Zylinder,
  zwei parallele Geraden,              ein hyperbolisches Paraboloid,
  ein zweischaliges Hyperboloid,              eine Ellipse,
  eine Hyperbel,              ein parabolisches Hyperboloid.


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 3.  7. 2025