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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 22: Quadriken

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Variante   
(a)
Bestimmen Sie den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q_1\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, 3x_1^2+5x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+4x_2x_3+6x_1+6x_2+2x_3+4\, =\, 0\}. $

$Q_1$  ist eine      kegelige Quadrik,      Mittelpunktsquadrik,      parabolische Quadrik.

(b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Mittelpunktsquadrik

$\displaystyle Q_2\, =\, \{x\in\mathbb{R}^2\, \vert\, 12x_1^2-20x_2^2+48x_1+80x_2-34\, =\, 0\} $

in der Form  $\lambda_1\hspace*{.3mm}z_1^2\, +\, \lambda_2\hspace*{.3mm}z_2^2\, +\, 1\, =\, 0$  mit $\lambda_1 < \lambda_2$  an.

$Q_2$  besitzt die euklidische Normalform      $z_1^2 \ + \ $ $z_2^2 \ + \ 1 \ = \ 0.$

(c)
Geben Sie den Mittelpunkt $M$ von  $Q_2$  in Standardkoordinaten an.

${{\strut}_{\mathbb{E}}^{}M} \ = \ \Big($    ,    $\Big){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$
(d)
Welche geometrische Gestalt besitzt die Quadrik

$\displaystyle Q_3\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, -x_1^2+2x_2^2-12x_1-7\, =\, 0\}\,? $

$Q_3$  beschreibt ein parabolisches Hyperboloid,              eine Hyperbel,
  zwei sich schneidende Parabeln,              zwei sich schneidende Geraden,
  einen Doppelkegel,              ein Ellipsoid,
  einen parabolischen Zylinder,              einen hyperbolischen Zylinder,
  eine Parabel,              eine Ellipse,
  zwei parallele Ebenen,              ein hyperbolisches Paraboloid,
  einen elliptischen Zylinder,              zwei parallele Geraden,
  ein zweischaliges Hyperboloid,              ein einschaliges Hyperboloid,
  ein elliptisches Paraboloid,              zwei sich schneidende Ebenen.


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 3.  7. 2025