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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 31: Quadriken

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Variante   
(a)
Bestimmen Sie den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q_1\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, x_1^2+4x_2^2-5x_3^2+4x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3+2x_2+8x_3-2\, =\, 0\}. $

$Q_1$  ist eine      kegelige Quadrik,      Mittelpunktsquadrik,      parabolische Quadrik.

(b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Mittelpunktsquadrik

$\displaystyle Q_2\, =\, \{x\in\mathbb{R}^2\, \vert\, 48x_1^2-48x_2^2-96x_1-96x_2-2\, =\, 0\} $

in der Form  $\lambda_1\hspace*{.3mm}z_1^2\, +\, \lambda_2\hspace*{.3mm}z_2^2\, +\, 1\, =\, 0$  mit $\lambda_1 < \lambda_2$  an.

$Q_2$  besitzt die euklidische Normalform      $z_1^2 \ + \ $ $z_2^2 \ + \ 1 \ = \ 0.$

(c)
Geben Sie den Mittelpunkt $M$ von  $Q_2$  in Standardkoordinaten an.

${{\strut}_{\mathbb{E}}^{}M} \ = \ \Big($    ,    $\Big){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$
(d)
Welche geometrische Gestalt besitzt die Quadrik

$\displaystyle Q_3\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, -3x_1^2+x_2^2-12x_2-17\, =\, 0\}\,? $

$Q_3$  beschreibt ein Ellipsoid,              ein elliptisches Paraboloid,
  zwei sich schneidende Ebenen,              einen parabolischen Zylinder,
  einen elliptischen Zylinder,              einen Doppelkegel,
  ein parabolisches Hyperboloid,              zwei parallele Geraden,
  eine Parabel,              ein einschaliges Hyperboloid,
  zwei parallele Ebenen,              ein hyperbolisches Paraboloid,
  ein zweischaliges Hyperboloid,              zwei sich schneidende Parabeln,
  zwei sich schneidende Geraden,              eine Hyperbel,
  eine Ellipse,              einen hyperbolischen Zylinder.


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 3.  7. 2025