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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 33: Quadriken

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Variante   
(a)
Bestimmen Sie den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q_1\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, 2x_1^2+3x_2^2+4x_3^2-6x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3-6x_1-2x_2-2\, =\, 0\}. $

$Q_1$  ist eine      kegelige Quadrik,      Mittelpunktsquadrik,      parabolische Quadrik.

(b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Mittelpunktsquadrik

$\displaystyle Q_2\, =\, \{x\in\mathbb{R}^2\, \vert\, 40x_1^2+16x_2^2-80x_1+32x_2+54\, =\, 0\} $

in der Form  $\lambda_1\hspace*{.3mm}z_1^2\, +\, \lambda_2\hspace*{.3mm}z_2^2\, +\, 1\, =\, 0$  mit $\lambda_1 < \lambda_2$  an.

$Q_2$  besitzt die euklidische Normalform      $z_1^2 \ + \ $ $z_2^2 \ + \ 1 \ = \ 0.$

(c)
Geben Sie den Mittelpunkt $M$ von  $Q_2$  in Standardkoordinaten an.

${{\strut}_{\mathbb{E}}^{}M} \ = \ \Big($    ,    $\Big){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$
(d)
Welche geometrische Gestalt besitzt die Quadrik

$\displaystyle Q_3\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, 7x_1^2-x_2^2-12x_2+16\, =\, 0\}\,? $

$Q_3$  beschreibt ein parabolisches Hyperboloid,              zwei parallele Ebenen,
  einen parabolischen Zylinder,              eine Parabel,
  ein einschaliges Hyperboloid,              eine Hyperbel,
  ein Ellipsoid,              ein elliptisches Paraboloid,
  ein zweischaliges Hyperboloid,              eine Ellipse,
  ein hyperbolisches Paraboloid,              einen hyperbolischen Zylinder,
  einen Doppelkegel,              einen elliptischen Zylinder,
  zwei sich schneidende Geraden,              zwei sich schneidende Ebenen,
  zwei parallele Geraden,              zwei sich schneidende Parabeln.


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 3.  7. 2025