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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 34: Quadriken

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Variante   
(a)
Bestimmen Sie den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q_1\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, 3x_1^2-5x_2^2+3x_3^2-2x_1x_2+6x_1x_3-2x_2x_3-8x_2+6x_3+1\, =\, 0\}. $

$Q_1$  ist eine      kegelige Quadrik,      Mittelpunktsquadrik,      parabolische Quadrik.

(b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Mittelpunktsquadrik

$\displaystyle Q_2\, =\, \{x\in\mathbb{R}^2\, \vert\, 48x_1^2+18x_2^2+96x_1-36x_2+63\, =\, 0\} $

in der Form  $\lambda_1\hspace*{.3mm}z_1^2\, +\, \lambda_2\hspace*{.3mm}z_2^2\, +\, 1\, =\, 0$  mit $\lambda_1 < \lambda_2$  an.

$Q_2$  besitzt die euklidische Normalform      $z_1^2 \ + \ $ $z_2^2 \ + \ 1 \ = \ 0.$

(c)
Geben Sie den Mittelpunkt $M$ von  $Q_2$  in Standardkoordinaten an.

${{\strut}_{\mathbb{E}}^{}M} \ = \ \Big($    ,    $\Big){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$
(d)
Welche geometrische Gestalt besitzt die Quadrik

$\displaystyle Q_3\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, 4x_1^2+x_2^2+16x_2-20\, =\, 0\}\,? $

$Q_3$  beschreibt ein parabolisches Hyperboloid,              zwei parallele Geraden,
  ein elliptisches Paraboloid,              einen Doppelkegel,
  zwei parallele Ebenen,              einen hyperbolischen Zylinder,
  ein hyperbolisches Paraboloid,              einen parabolischen Zylinder,
  zwei sich schneidende Ebenen,              eine Hyperbel,
  ein einschaliges Hyperboloid,              ein zweischaliges Hyperboloid,
  eine Parabel,              zwei sich schneidende Parabeln,
  ein Ellipsoid,              eine Ellipse,
  zwei sich schneidende Geraden,              einen elliptischen Zylinder.


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 3.  7. 2025