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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 55: Koordinatentransformationen

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Variante   
Gegeben ist der Vektorraum $\mathbb{R}^4$ über $\mathbb{R}$ mit dem Standardkoordinatensystem $\mathbb{E}:=(O;\mathrm{e}_1,\mathrm{e}_2,\mathrm{e}_3,\mathrm{e}_4)$ und den affinen Koordinatensystemen

$\displaystyle \mathbb{F}:=\left( \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix};\be... ...x}0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\right)$       und    $\displaystyle \mathbb{G}:=\left( \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -3\\ -3 \end{pmatrix}... ...1\\ 2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}\right).$    

(a) Bestimmen Sie die Koordinatentransformation ${{\strut}_{\mathbb{F}}^{}\kappa{\strut}_{\mathbb{E}}^{}}\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4\colon{{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}\mapsto{{\strut}_{\mathbb{F}}^{}{v}}$.

Antwort:

${{\strut}_{\mathbb{F}}^{}\kappa{\strut}_{\mathbb{E}}^{}} \left({{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}\right)= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
${0}$ ${0}$
${1}$ ${0}$
${0}$ ${1}$
${0}$ ${0}$
$\left.\rule{0pt}{10ex}\right){{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}$  $+$  $\left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{10ex}\right).$

(b) Bestimmen Sie die Koordinatentransformation ${{\strut}_{\mathbb{G}}^{}\kappa{\strut}_{\mathbb{E}}^{}} \colon \mathbb{R}^4 \t... ...b{R}^4\colon{{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}} \mapsto {{\strut}_{\mathbb{G}}^{}{v}}$.

Antwort:

${{\strut}_{\mathbb{G}}^{}\kappa{\strut}_{\mathbb{E}}^{}} \left({{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}\right) = \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
${1}$ ${0}$
${-3}$ ${1}$
${0}$ ${0}$
${-2}$ ${0}$
$\left.\rule{0pt}{10ex}\right){{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}$  $+$  $\left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{10ex}\right).$

(c) Sei die affine Abbildung $\alpha$ bezüglich des Standardkoordinatensystems $\mathbb{E}$ gegeben durch

$\displaystyle \alpha\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4\colon v\mapsto \begin{pma... ...0&2&3&2\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} v + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\\ -1\end{pmatrix}.$    

Geben Sie ${{\strut}_{\mathbb{F}}^{}\alpha{\strut}_{\mathbb{F}}^{}}$ an. Bestimmen Sie dazu eine Matrix $A\in\mathbb{R}^{4\times 4}$ und einen Vektor $t\in\mathbb{R}^4$ so, dass ${{\strut}_{\mathbb{F}}^{}{\left(\alpha\left(v\right)\right)}} = A\,{{\strut}_{\mathbb{F}}^{}{v}} + t$ gilt.

Antwort:

${{\strut}_{\mathbb{F}}^{}\alpha{\strut}_{\mathbb{F}}^{}} \left({{\strut}_{\mathbb{F}}^{}{v}}\right) = \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
${0}$ ${2}$
${1}$ ${2}$
${0}$ ${0}$
${0}$ ${0}$
$\left.\rule{0pt}{10ex}\right){{\strut}_{\mathbb{F}}^{}{v}}$  $+$  $\left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{10ex}\right).$

  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 20.  6. 2024