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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 62: Quadriken

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Variante   
(a)
Bestimmen Sie den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q_1\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, 3x_1^2-x_2^2+4x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3-10x_2x_3-4x_1-4x_2+1\, =\, 0\}. $

$Q_1$  ist eine      kegelige Quadrik,      Mittelpunktsquadrik,      parabolische Quadrik.

(b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Mittelpunktsquadrik

$\displaystyle Q_2\, =\, \{x\in\mathbb{R}^2\, \vert\, 42x_1^2+36x_2^2+84x_1-72x_2+75\, =\, 0\} $

in der Form  $\lambda_1\hspace*{.3mm}z_1^2\, +\, \lambda_2\hspace*{.3mm}z_2^2\, +\, 1\, =\, 0$  mit $\lambda_1 < \lambda_2$  an.

$Q_2$  besitzt die euklidische Normalform      $z_1^2 \ + \ $ $z_2^2 \ + \ 1 \ = \ 0.$

(c)
Geben Sie den Mittelpunkt $M$ von  $Q_2$  in Standardkoordinaten an.

${{\strut}_{\mathbb{E}}^{}M} \ = \ \Big($    ,    $\Big){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$
(d)
Welche geometrische Gestalt besitzt die Quadrik

$\displaystyle Q_3\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, x_1^2+4x_2^2+4x_1-17\, =\, 0\}\,? $

$Q_3$  beschreibt ein zweischaliges Hyperboloid,              zwei parallele Geraden,
  zwei sich schneidende Parabeln,              einen Doppelkegel,
  eine Ellipse,              einen hyperbolischen Zylinder,
  zwei sich schneidende Geraden,              eine Hyperbel,
  ein parabolisches Hyperboloid,              zwei sich schneidende Ebenen,
  ein hyperbolisches Paraboloid,              ein Ellipsoid,
  einen elliptischen Zylinder,              einen parabolischen Zylinder,
  ein einschaliges Hyperboloid,              zwei parallele Ebenen,
  eine Parabel,              ein elliptisches Paraboloid.


  

siehe auch:

  automatisch erstellt am 3.  7. 2025