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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 67: Quadriken

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Variante   
(a)
Bestimmen Sie den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q_1\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, 2x_2^2+4x_3^2-2x_1x_2+4x_1x_3-6x_2x_3+6x_1+6x_2+2x_3-1\, =\, 0\}. $

$Q_1$  ist eine      kegelige Quadrik,      Mittelpunktsquadrik,      parabolische Quadrik.

(b)
Geben Sie die euklidische Normalform der Mittelpunktsquadrik

$\displaystyle Q_2\, =\, \{x\in\mathbb{R}^2\, \vert\, 30x_1^2-42x_2^2-60x_1-84x_2-15\, =\, 0\} $

in der Form  $\lambda_1\hspace*{.3mm}z_1^2\, +\, \lambda_2\hspace*{.3mm}z_2^2\, +\, 1\, =\, 0$  mit $\lambda_1 < \lambda_2$  an.

$Q_2$  besitzt die euklidische Normalform      $z_1^2 \ + \ $ $z_2^2 \ + \ 1 \ = \ 0.$

(c)
Geben Sie den Mittelpunkt $M$ von  $Q_2$  in Standardkoordinaten an.

${{\strut}_{\mathbb{E}}^{}M} \ = \ \Big($    ,    $\Big){^{^{\scriptstyle\intercal}}}.$
(d)
Welche geometrische Gestalt besitzt die Quadrik

$\displaystyle Q_3\, =\, \{x\in\mathbb{R}^3\, \vert\, -5x_1^2-x_2^2+8x_2+20\, =\, 0\}\,? $

$Q_3$  beschreibt zwei sich schneidende Geraden,              eine Hyperbel,
  ein einschaliges Hyperboloid,              ein Ellipsoid,
  einen Doppelkegel,              zwei parallele Ebenen,
  eine Parabel,              einen hyperbolischen Zylinder,
  zwei parallele Geraden,              einen parabolischen Zylinder,
  eine Ellipse,              ein elliptisches Paraboloid,
  ein parabolisches Hyperboloid,              zwei sich schneidende Parabeln,
  ein zweischaliges Hyperboloid,              ein hyperbolisches Paraboloid,
  zwei sich schneidende Ebenen,              einen elliptischen Zylinder.


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 3.  7. 2025