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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1752 Variante 67: Hauptachsentransformation

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Variante   
Die Quadrik $Q$ sei gegeben durch

$\displaystyle Q:=\left\{(x_1,x_2){^{^{\scriptstyle\intercal}}}\in \mathbb{R}^2 \,\left\vert\,4x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2+24x_1+12x_2+83 = 0\right.\right\}.$    

(a) Bestimmen Sie die symmetrische Matrix $A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$, den Spaltenvektor $a\in\mathbb{R}^2$ und die Konstante $c\in\mathbb{R}$ so, dass gilt

$\displaystyle Q=\left\{x\in \mathbb{R}^2 \,\left\vert\,x{^{^{\scriptstyle\intercal}}}Ax + 2a{^{^{\scriptstyle\intercal}}}x + c = 0\right.\right\}.$    

Antwort:

$A = \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
,    
$a = \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{6ex}\right)$
,    $c = $

(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von $A$ und geben Sie sie aufsteigend sortiert an.

Antwort:

$\lambda_1 = $   $\hspace*{2mm}<$  $\hspace*{2mm}\lambda_2 = $

(c) Bestimmen Sie ein Koordinatensystem $\mathbb{F}$, in dem $Q$ euklidische Normalform hat, und geben Sie die Koordinatentransformation ${{\strut}_{\mathbb{F}}^{}\kappa{\strut}_{\mathbb{E}}^{}}\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\colon{{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}\mapsto{{\strut}_{\mathbb{F}}^{}{v}}$ an.

Antwort:

${{\strut}_{\mathbb{F}}^{}\kappa{\strut}_{\mathbb{E}}^{}} \left({{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}\right) =\dfrac{1}{\sqrt{2}} \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
${1}$ ${1}$
${-1}$
$\left.\rule{0pt}{6ex}\right){{\strut}_{\mathbb{E}}^{}{v}}$ $+$ $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$\left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

(d) Geben Sie an, um welchen Quadriktyp es sich handelt. Ist $Q$ eine Mittelpunktsquadrik, so bestimmen Sie ihren Mittelpunkt $M$. Anderenfalls lassen Sie die Kästen bei $M$ frei.

Antwort:

Die Quadrik $Q$ ist eine kegelige Quadrik, eine Mittelpunktsquadrik, eine parabolische Quadrik.

$M = \left(\rule{0pt}{3ex}\right.$  ,  $\left.\rule{0pt}{3ex}\right)$


  

siehe auch:

  automatisch erstellt am 4.  7. 2024