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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 176: Volumen und Normalen eines Körpers im Vektorfeld

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Im $ \mathbb{R}^3$ sei der Körper $ M$ , der durch den Graph $ S$ der Funktion $ f(x,y)= x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1$ und der Ebene $ E$ mit der Gleichung $ z=0$ eingeschlossen wird gegeben. Die Kurve $ K$ sei gegeben durch $ S \cap E$ .

Das Vektorfeld $ g:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ sei definiert durch

$\displaystyle g:\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right) \mapsto \left(\begin{array}{c}x\\ 2y-x\\ 2z+y\end{array}\right).$

a)
Wie lautet der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor von $ \partial M$ in $ (1,0,0)$ ?

$ \Big($ , , $ \Big) ^{\operatorname t}$

b)
Wie lautet der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor von $ \partial M$ in $ (1,0,-2)$ ?

1 / $ \cdot \Big($ , , $ \Big) ^{\operatorname t}$

c)
rot $ g\ =\ \Big($ , , $ \Big) ^{\operatorname t}$

d)
div $ g\ =\ $

e)
Berechnen Sie das Volumen $ V$ des Körpers $ M$ . $ V\ =$ $ \cdot\pi$

f)
$ \iint\limits_{\partial M} g\cdot n~\mathrm{d}O\ =$ $ \cdot\pi$

(Hierbei sei $ n$ der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor.)

g)

$ \int_K g \mathrm{d}r\ =\ \pm$ $ \cdot\pi$


   

(Autor: Michael Knödler)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017