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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1766 Variante 43: Darstellungsmatrizen einer Abbildung bezüglich verschiedener Basen

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Variante   
Gegeben seien die Standardbasis $ E\colon (1,0){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}, (0,1){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}$ des $ \mathbb{R}^2$, die Basis $ A$ von $ \mathbb{R}^3$ und die Basis $ B$ von $ \mathbb{R}^2$ durch

$\displaystyle A\colon\begin{pmatrix}-4\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 4\\ -3 \end{pmatrix}$   und$\displaystyle \quad B\colon\begin{pmatrix}3\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2\\ 2 \end{pmatrix}.$    

Weiterhin sei $ \varphi\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ die lineare Abbildung, welche die folgenden Bedingungen erfüllt.

$\displaystyle \varphi\begin{pmatrix}-4\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\... ...rphi\begin{pmatrix}0\\ 4\\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\ 5 \end{pmatrix}$    

(a)
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $ {{\strut}_{E}^{}{\strut\varphi}_{A}^{}}$.

Antwort:

$ {{\strut}_{E}^{}{\strut\varphi}_{A}^{}} = \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$
(b)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors $ v=(5,-1){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}$ bezüglich der Basis $ B$.

Antwort:

$ {{\strut}_{B}^{}{v}} = \left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$, $ \left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}$

(c)
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $ {{\strut}_{B}^{}{\strut\varphi}_{A}^{}}$.

Antwort:

$ {{\strut}_{B}^{}{\strut\varphi}_{A}^{}} = \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$
(d)
Sei $ U:= \mathop{\kern0mm\mathrm{span}}\left((0,4,-3){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}},(1,-2,3){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}\right)\subset \mathbb{R}^3$ der Untervektorraum mit Basis $ C\colon(0,4,-3){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}},(1,-2,3){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}$. Weiterhin sei

$\displaystyle f\colon U \to \mathbb{R}^2,\, x\mapsto \varphi(x)$    

die Einschränkung von $ \varphi$ auf $ U$. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $ {{\strut}_{B}^{}{\strut f}_{C}^{}}$.

Antwort:

$ {{\strut}_{B}^{}{\strut f}_{C}^{}} = \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$

  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017