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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1767 Variante 22: Determinante, Rang, Inverse und Multiplikation

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Variante   
Gegeben sei die folgende Matrix $ A\in \mathbb{R}^{4\times 4}$ als

$\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&0&2&0\\ 0&1&2&0\\ 1&0&0&1\\ 2&-1&0&0 \end{pmatrix}.$    

(a)
Bestimmen Sie die Determinante von $ A$ und den Rang von $ A$.

Antwort:

$ \mathop{\mathrm{det}}(A)$ = , $ \mathop{\mathrm{Rang}}(A)$ = .

(b)
Bestimmen Sie die Inverse zu $ A$.

Antwort:

$ A^{-1} = \dfrac{1}{\mathop{\mathrm{det}}(A)}\left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 2$ $ 2$
$ -4$ 0
$ -1$ $ -1$
$ 2$ $ 2$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right).$

(c)
Bestimmen Sie die folgenden Determinanten.

Antwort:

$ \mathop{\mathrm{det}}(-2AA^{-1})$ = , $ \mathop{\mathrm{det}}(-4(A^{-1}A){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}})$ = .

(d)
Gegeben ist der Vektorraum $ \mathbb{R}^4$ über $ \mathbb{R}$ mit den Basen

$\displaystyle E\colon\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatr... ...rix}0 \\ 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$   und$\displaystyle \quad B\colon\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}, \begin{p... ...matrix}2\\ 2\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}.$    

Weiterhin sei die lineare Abbildung $ \varphi$ bezüglich der Standardbasis $ E$ gegeben durch

$\displaystyle \varphi \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4,\, x \mapsto \begin{pmatrix}12&-8&0&-8\\ 0&4&0&0\\ 0&0&-4&0\\ 16&-16&0&-12 \end{pmatrix} x.$    

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $ {{\strut}_{B}^{}{\strut \varphi}_{B}^{}}$.

Antwort:

$ {{\strut}_{B}^{}{\strut \varphi}_{B}^{}} = \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right).$

  

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017