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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1767 Variante 5: Determinante, Rang, Inverse und Multiplikation

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Variante   
Gegeben sei die folgende Matrix $ A\in \mathbb{R}^{4\times 4}$ als

$\displaystyle A = \begin{pmatrix}2&3&-1&0\\ 0&-3&1&0\\ 3&0&0&1\\ 0&-1&0&0 \end{pmatrix}.$    

(a)
Bestimmen Sie die Determinante von $ A$ und den Rang von $ A$.

Antwort:

$ \mathop{\mathrm{det}}(A)$ = , $ \mathop{\mathrm{Rang}}(A)$ = .

(b)
Bestimmen Sie die Inverse zu $ A$.

Antwort:

$ A^{-1} = \dfrac{1}{\mathop{\mathrm{det}}(A)}\left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ -1$ 0
0 0
$ -2$ $ 6$
$ 3$ $ -2$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right).$

(c)
Bestimmen Sie die folgenden Determinanten.

Antwort:

$ \mathop{\mathrm{det}}(-5AA^{-1})$ = , $ \mathop{\mathrm{det}}(-3(A^{-1}A){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}})$ = .

(d)
Gegeben ist der Vektorraum $ \mathbb{R}^4$ über $ \mathbb{R}$ mit den Basen

$\displaystyle E\colon\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatr... ...rix}0 \\ 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$   und$\displaystyle \quad B\colon\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 3\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{p... ...atrix}-1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}.$    

Weiterhin sei die lineare Abbildung $ \varphi$ bezüglich der Standardbasis $ E$ gegeben durch

$\displaystyle \varphi \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4,\, x \mapsto \begin{pmatrix}4&-2&0&12\\ 0&6&0&-12\\ 0&0&4&0\\ 0&0&0&2 \end{pmatrix} x.$    

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $ {{\strut}_{B}^{}{\strut \varphi}_{B}^{}}$.

Antwort:

$ {{\strut}_{B}^{}{\strut \varphi}_{B}^{}} = \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right).$

  

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017