Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Interaktive Aufgabe 1768 Variante 58: Eigenschaften von Abbildungen

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	Interaktive Aufgabe 1768 Variante 58: Eigenschaften von Abbildungen

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Gegeben seien die folgenden Vektoren $v_1, v_2 \in \mathbb{R}^{3}$ als

$\displaystyle v_1 = \dfrac{1}{\sqrt{21}}\begin{pmatrix}4\\ 2\\ 1\end{pmatrix}, v_2 = \dfrac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\ -3\\ 2\end{pmatrix}.$

(a)

Bestimmen Sie einen Vektor

so, dass die Vektoren

in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden.

Antwort:

$v_3 = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(\rule{0pt}{2.5ex}\right.$ , , $\left.\rule{0pt}{2.5ex}\right){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}.$

(b)

Seien die Matrix $A = (v_1,\, v_2,\, v_3)$ , der Vektor $t = (0,0,0){^{^{\scriptstyle\mathrm t}}}$ und die Abbildung $\alpha$ gegeben durch

$\displaystyle \alpha\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\,v\mapsto Av + t.$

Bestimmen Sie den Typ der Abbildung $\alpha$ .

Antwort:

Die Abbildung $\alpha$ ist:

eine eigentliche Isometrie

affin

eine Translation

nicht surjektiv

orthogonal

linear

(c)

Sei eine weitere Abbildung $\beta$ gegeben durch

$\displaystyle \beta\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\,v\mapsto Bv + s$ mit $\displaystyle \quad B = \begin{pmatrix}-\dfrac{4}{\sqrt{21}}&-\dfrac{2}{\sqrt{2... ...t{6}}&-\dfrac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix},\, \boldsymbol0 \neq s\in\mathbb{R}^3.$