Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1781 Variante 25: Entwicklungspunkt, Konvergenzbereich, geschlossene Darstellung einer Potenzreihe

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
[vorherige] [Variante 25] [nächste]
Variante   
(a)
Seien die Abbildungen $ f \colon U_{\rho_f}(z_f)\to\mathbb{C}$ und $ g \colon U_{\rho_g}(z_g)\to\mathbb{C}$ gegeben durch

$\displaystyle f(z) := \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(-\frac{3}{7}\right)^k (2z-7)^k$    und $\displaystyle \quad g(z) := \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{7}{n}-\frac{7}{n+1}\right) (z-3)^n.$    

(i)
Bestimmen Sie den Entwicklungspunkt $ z_f$ und den Konvergenzradius $ \rho_f$ von $ f$.

Antwort:

Geben Sie die Brüche gekürzt und mit positivem Nenner an.

$ z_f = $ / ,         $ \rho_f = $ /

(ii)
Untersuchen Sie die Konvergenz von $ f$ in den reellen Randpunkten des Konvergenzkreises $ U_{\rho_f}(z_f)$.

Antwort:

Die Potenzreihe $ f(z)$ konvergiert auf dem Intervall $ [z_f - \rho_f, z_f + \rho_f)$, $ [z_f - \rho_f, z_f + \rho_f]$, $ (z_f - \rho_f, z_f + \rho_f)$, $ (z_f - \rho_f, z_f + \rho_f]$.

(iii)
Finden Sie Konstanten $ a, b \in \mathbb{R}$ so, dass für alle $ z \in U_{\rho_f}(z_f) \cap U_{\rho_g}(z_g)$ gilt

$\displaystyle a f(z) + b\,g\left(4\right) = \frac{ -54z +91}{ 6z -14}.$    

Antwort:

$ a = $ ,         $ b = $

(b)
Gegeben sei die Abbildung

$\displaystyle h \colon \mathbb{R} \to\mathbb{R},\, x \mapsto \left\{ \begin{aligned}4(x-6)^2\,,&\,x \leq 8\\ 4\sin (a(x-8))+b \,, &\,x > 8 \end{aligned} \right.$

Bestimmen Sie die reellen Konstanten $ a$ und $ b$ so, dass $ h$ auf $ \mathbb{R}$ differenzierbar ist.

Antwort:

$ a = $ ,         $ b = $

  

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017