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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1783 Variante 39: Grenzwerte und Eigenschaften von Funktionen

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Variante   
Gegeben seien die Abbildungen

$\displaystyle f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\, x\mapsto x^3 +3x^2 -4x -12, \quad g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\, x\mapsto x^3 +x^2 -14x -24\,$ und $\displaystyle \, h\colon (4, \infty) \to\mathbb{R},\, x\mapsto \frac{f(x)}{g(x)}.$    

(a)
Bestimmen Sie, falls sie existieren, die Funktionsgrenzwerte $ a, b \in \mathbb{R}$. Falls ein Grenzwert existiert, tragen Sie diesen ein. Ansonsten lassen Sie den Kasten frei.

Geben Sie die Brüche gekürzt und mit positivem Nenner an.
(1) $ a:=\displaystyle\lim\limits_{x\to -3} \frac{f(x)}{g(x)}$ existiert nicht, existiert mit $ a = $ / .
(2) $ b:=\displaystyle\lim\limits_{x\to -3} \frac{g(x)}{f(x)}$ existiert nicht, existiert mit $ b = $ / .

(b)
Bestimmen Sie die folgenden Eigenschaften der Abbildung $ h$.

(1) Die Abbildung $ h$ ist streng monoton fallend, nicht monoton, streng monoton wachsend.
(2) Die Abbildung $ h$ ist surjektiv, nicht stetig, injektiv.

(c)
Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen der Umkehrfunktion von $ h$ im Punkt $ y_0 = h(x_0) = h(7)$.

Geben Sie die Brüche gekürzt und mit positivem Nenner an.
(1) $ \displaystyle \left.\frac{d}{dy} h^{-1}(y)\right\vert _{y=h(x_0)}$ $ = $ / .
(2) $ \displaystyle \left.\frac{d^2}{dy^2} h^{-1}(y)\right\vert _{y=h(x_0)}$ $ = $ / .


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017