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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1789 Variante 69: Länge einer Kurve und Kurvenintegral über den Gradienten eines Vektorfeldes

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Variante   
Seien die Kurve $ K$ mit der Parametrisierung $ C$ und die Abbildung $ f$ wie folgt gegeben.

$\displaystyle C \colon [-2\pi,3\pi]\rightarrow \mathbb{R}^3,\, t\mapsto\begin{p... ...\rightarrow \mathbb{R},\, \begin{pmatrix}u\\ v\\ w\end{pmatrix} \mapsto -3uvw-8$    

(a)
Bestimmen Sie $ \nabla f(4,-8,2)$, $ \operatorname{div} \nabla f(4,-8,2)$ und $ \operatorname{rot} \nabla f(4,-8,2)$.

Antwort:

$ \nabla f(4,-8,2) = \left(\rule{0pt}{7.5ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{7.5ex}\right)$
, $ \operatorname{div} \nabla f(4,-8,2) = $ ,
$ \operatorname{rot} \nabla f(4,-8,2) = \left(\rule{0pt}{7.5ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{7.5ex}\right)$

(b)
Bestimmen Sie $ C(0)$ und die Länge der Kurve $ K$.

Antwort:

$ C(0) = \left(\rule{0pt}{7.5ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{7.5ex}\right)$
,     $ L(K) = \sqrt{106}\pi$

(c)
Bestimmen Sie das Kurvenintegral von $ f$ längs $ K$.

Antwort:

$ \displaystyle\int\limits_K f(s)\, \mathrm{d}s = \displaystyle \frac{\sqrt{106}}{4}\pi$

(d)
Bestimmen Sie das Kurvenintegral von $ \nabla f$ längs $ K$ bezüglich $ C$.

Antwort:

$ \displaystyle\int\limits_K \nabla f(x) \bullet \mathrm{d}x = $


  
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017