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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 180: Arbeitsintegral, Potential

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Gegeben sei die Kurve $ C$ mit der Darstellung $ C(t)=(\cos t, \sin t, \frac{t}{2\pi})$ mit $ t\in[0,2\pi]$ , sowie das Vektorfeld $ V$ mit $ V(x,y,z)=(3x^2-y^2,-\alpha xy,-1)$ mit dem reellen Parameter $ \alpha$ .


Berechnen Sie $ \mathrm{rot} V$ :

$ \mathrm{rot} V\ =\ \displaystyle\Big($ , , $ \big($ - $ \alpha\big)y\displaystyle\Big)^{\operatorname t}$

Berechnen Sie $ C'(t)$ :

$ C'(t)\ =\ \Big($ $ \sin t$ , $ \cos t$ , $ \big($ $ \pi\big)^{-1}\Big)^{\operatorname t}$

Berechnen Sie das Integral $ I = \int\limits_C V \mathrm{d}r$ .

$ \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}$ $ \cos^2t\sin t$ + $ \sin^3t$ + $ \alpha\cos^2t\sin t$ + $ \Big($ $ \pi\Big)^{-1} ~\mathrm{d}t$

$ =$

Es gibt einen Wert des Parameters $ \alpha$ , für welchen das Vektorfeld $ V$ ein Potential besitzt. Bestimmen Sie dieses $ \alpha$ :

$ \alpha\ =\ $

Bestimmen Sie das zu diesem $ \alpha$ gehörige Potential $ u$ :

$ u\ =\ $ $ x^3$ + $ zx$ + $ y^2x$ + $ y^2$ + $ z$

und drücken Sie für diesen Fall den Wert des Integrals $ I$ mit Hilfe des Potentials aus:

$ I\ =\ $ $ u\Big($ , , $ \Big)$ + $ u\Big($ , , $ \Big)$


   

(Aus: Scheinklausur HM III Kimmerle WS02/03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017