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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 185: Fourier-Reihe, Reihenwert

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Gegeben sei die $ 2\pi$ -periodische Funktion $ f$ durch

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rll} 0 & \mathrm{f''ur} & x\in [-\pi,0)\\ \frac{x}{\pi} & \mathrm{f''ur} & x\in [0,\pi) \end{array}\right.$

Bestimmen Sie eine Fourierreihe $ F(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum\limits_{k=1}^\infty(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ zu $ f$ .

Kreuzen Sie in der Tabelle die Werte von $ a_k$ und $ b_k$ an.

  keine Aussage 0 $ 1$ $ \displaystyle\frac{1}{\pi}$ $ \displaystyle\frac{1}{2}$ $ \displaystyle\frac{\pi}{2}$ $ \displaystyle\frac{1}{k\pi}$ $ \displaystyle-\frac{1}{k\pi}$ $ -\displaystyle\frac{2}{k^2\pi^2}$
$ a_0$                                                                                 
$ a_k$ für gerade $ k\ne0$
$ a_k$ für ungerade $ k$
$ b_k$ für gerade $ k$
$ b_k$ für ungerade $ k$

Berechnen Sie die ersten Glieder der Reihe $ \pi\cdot F(\frac{\pi}{2})$ .

$ \pi\ \Big/\ $     +        +    0    -     $ 1\ \Big/\ $     +    0    +    $ 1\ \Big/\ $     +    0    -    $ 1\ \Big/\ $     +    $ \dots$

Gegen welchen Wert konvergiert die Reihe

$ \displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{2n+1}\ =\ \pi\ \Big/\ $


   

(Autor: Michael Knödler)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017