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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 191: Arbeitsintegral und Potential

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Gegeben sei die Kurve $ C$ mit der Parameterdarstellung $ C(t)=(\cos t, \sin t, \cos t)$ mit $ t\in[0,2\pi]$ , sowie das Vektorfeld $ V_\alpha$ mit $ V_\alpha(x,y,z)=(3xy,3y^2z+\alpha x^2,y^3+z)$ mit dem reellen Parameter $ \alpha$ .


Berechnen Sie $ \mathrm{rot} V_5$ an der Stelle $ (1,1,3)$ :

$ \mathrm{rot} V_5(1,1,3)\ =\ \displaystyle\Big($ , , $ \Big)^{\operatorname t}$

Berechnen Sie $ C'(\frac{\pi}{2})$ :

$ C'(\frac{\pi}{2})\ =\ \Big($ , , $ \Big)^{\operatorname t}$

Ist $ C'(k\frac{\pi}{2})$ für $ k\in\mathbb{Z}$ unabhängig von $ k$ ?     weiß nicht     ja     nein

Ist $ C(t)$ eine reguläre Parametrisierung?     weiß nicht     ja     nein

Berechnen Sie das Integral $ I = \int\limits_C V_\alpha \mathrm{d}r$ .

$ \displaystyle I=\int\limits_0^{2\pi}$ $ \cos t\sin^2 t$ + $ \cos^2t\sin^2t$ + $ \alpha\cos^3t$ + $ \sin t\cos t$ + $ \sin^4t~\mathrm{d}t$

$ =$

Folgende Fragen können bei der Berechnung von $ I$ nützlich sein.

Hängt $ I$ von $ \alpha$ ab?     weiß nicht     ja     nein

Für welchen Wert des Parameters $ \alpha$ besitzt das Vektorfeld $ V_{\alpha}$ eine Potentialfunktion?     $ \alpha$ = $ \Big/$

Ist $ C$ eine geschlossene Kurve?     weiß nicht     ja     nein

Bestimmen Sie das zu diesem $ \alpha$ gehörige Potential $ u$ , welches an der Stelle $ (0,0,0)$ den Wert 0 besitzt.

Welche Werte hat das Potential $ u$ an den Stellen $ (1,1,1)$ und $ (1,-1,1)$ ?

$ u(1,1,1)\ =\ $

$ u(1,-1,1)\ =\ $


   

(Autoren: Kimmerle/Knödler)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017