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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 192: Partielle Differentialgleichung mit Nebenbedingungen, Multiple Choice

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei eine partielle Differentialgleichung

$\displaystyle u_{xx}+u_{yy}-2u_y+3u=0.$

Bestimmen sie alle Lösungen der PDG der Form $ u(x,y)=v(x)\cdot w(y)$ mit den Nebenbedingungen

$\displaystyle u(0,y)=u(\pi,y)=u(x,0)=u(x,\pi)=0.$

Sei $ K\in\mathbb{R}$ eine Konstante.

Welche der folgenden Gleichungen ist erfüllt?

keine Angabe
$ \displaystyle\frac{v}{v''}=K=\frac{w''}{w}-2\frac{w'}{w}+3$
$ \displaystyle\frac{v''}{v}=K=-\frac{w''}{w}+2\frac{w'}{w}-3$
$ \displaystyle\frac{v}{v''}=K=2(vw)'' -2vw'+3vw-3$
$ \displaystyle u_{xy}=K\frac{v}{v''}\frac{w}{w''}=u_{yx}$

Mit welchem Ansatz löst man die linke Seite dieser Gleichung für $ K=0$ ,$ K>0$ und $ K<0$ ? $ (C_1,C_2\in\mathbb{R})$

Ansatzt $ v(x)=$ k. A. $ \displaystyle C_1\sin\sqrt{K}x+C_2\cos\sqrt{K}x$ $ \displaystyle C_1e^{\sqrt{K}x}+C_2e^{-\sqrt{K}x}$ $ \displaystyle C_1\cos\sqrt{-K}x+C_2\sin\sqrt{-K}x$ konstant $ \displaystyle C_1x+C_2$ $ \displaystyle C_1x^2+C_2e^{\sqrt{-K}}x$
$ K=0$
$ K>0$
$ K<0$

Welche Lösungen für $ v$ erfüllen die Nebenbedingungen?

keine Angabe
$ \displaystyle v(x)=C(x^2-\pi x), C\in\mathbb{R}$
$ \displaystyle v(x)=C\cos 2nx - C, C\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$
$ \displaystyle v(x)=C\sin nx, C\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N}$
$ \displaystyle v(x)=C\left(\left\vert x-\frac{\pi}{2}\right\vert-\frac{\pi}{2}\right), C\in\mathbb{R}$
$ \displaystyle v(x)=Cx-C, C\in\mathbb{R}$

Welche Werte kommen für $ K$ in Frage?

keine Angabe $ K\in\{-1,0,1\}$
$ K\in\mathbb{N}$ $ K\in\mathbb{Z}$
$ K\in\mathbb{R}$ $ K=n^2,\ n\in\mathbb{N}$
$ K=-n^2,\ n\in\mathbb{N}$ $ K=2n,\ n\in\mathbb{N}$

Lösen Sie nun für diese $ K$ die DGL für $ w$ .

Benützen Sie den Ansatz: $ w(y)=De^{\eta y}$

Welche Form besitzt $ \eta$ ?

keine Angabe $ \displaystyle \eta=1\pm\sqrt{-K-2}$
$ \displaystyle \eta=1\pm\sqrt{K-2}$ $ \displaystyle \eta=\frac{\pi}{2}K$
$ \displaystyle \eta=1\pm\sqrt{K+2}$ $ \displaystyle \eta=\frac{\pi}{2}K\mathrm{i}$

Welche Lösungen für $ w$ erhält man für $ \eta\in\mathbb{R}$ ? Welche dieser Lösungen erfüllen die Nebenbedingungen?

keine Angabe $ \displaystyle w(y)=D\sin n\pi y,\ n\in\mathbb{N}$
$ \displaystyle w(y)=De^y\sin\sqrt{n^2-2}y,\ D\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}$ $ \displaystyle w(y)=0$
$ \displaystyle w(y)=De^y\sin\sqrt{n^2+2}y,\ D\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}$ $ \displaystyle w(y)=D\sin n\pi y,\ n\in\mathbb{Z}$

Welche Lösungen für $ w$ erhält man für $ \eta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ ? Welche dieser Lösungen erfüllen die Nebenbedingungen?

keine Angabe $ \displaystyle w(y)=Be^y\sin y,\ B\in\mathbb{R}$
$ \displaystyle w(y)=0$ $ \displaystyle w(y)=Be^y\sin\sqrt{-n^2-2}y,\ B\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}$
$ \displaystyle w(y)=B\sin n\pi y,\ n\in\mathbb{N},\ B\in\mathbb{R}$ $ \displaystyle w(y)=B\sin n^2\pi y,\ n\in\mathbb{N},\ B\in\mathbb{R}$

Die Gesamte Lösung der PDG mit Nebenbedingungen lautet?

keine Angabe
$ u(x,y)=Ae^y\sin x,\ A\in\mathbb{R}$
$ u(x,y)=Ae^y\sin x \sin y,\ A\in\mathbb{R}$
$ u(x,y)=0$
$ u(x,y)=Ae^y\sin y,\ A\in\mathbb{R}$


   

(Autoren: Kimmerle/Knödler)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017