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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 220: Transformation einer Differentialgleichung zweiter Ordnung hin zu einem Differentialgleichungssystem, Fixpunkte und Stabilität


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Schreiben Sie die Differentialgleichung

$\displaystyle u'' = u - \frac{1}{u}
$

als System

$\displaystyle \displaystyle\binom{u}{v}'=F(u,v),\ v=u'.$

Bestimmen Sie die Fixpunkte und prüfen Sie, ob diese stabil sind. Drücken Sie $ v$ als Funktion von $ u$ aus und geben Sie die Kurven in der $ uv$-Ebene an, die durch die Fixpunkte laufen.


Lösung:


$ F'=\bigg($
$ \displaystyle+\frac{1}{u^2}$
$ \bigg)$


Fixpunkte:
$ v=$ Stabilität: keine Angabe , ist stabil , ist instabil
$ u=\pm$ Stabilität: keine Angabe , ist stabil , ist instabil .

Kurven: $ v=\pm($$ ^2-$ $ \,\ln\vert u\vert+c)^{1/2}$

Kurven mit $ c=$ verlaufen durch Fixpunkte.


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1997)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017