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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 240: Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung, Eigenwerte


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Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

$\displaystyle A=\left( \begin{array}{cc} 8 & 3 \\ 3 & 0
\end{array} \right)
$

und lösen Sie das Anfangswertproblem

$\displaystyle u'(t)=Au(t), \quad u(0)=(1,0)^t.
$

Antwort:
Die Eigenwerte aufsteigend sortiert lauten $ \lambda_1=$ $ ,\
\lambda_2=$.
Die zugehörigen Eigenvektoren (dargestellt mit kleinstmöglichen ganzen Zahlen und positiver zweiter Komponente) lauten
$ v_1=\Big($$ ,\
$ $ \Big)^{\operatorname t}, \quad
v_2=\Big($, $ \Big)^{\operatorname t}.$

Die Lösung des Anfangswertproblems lautet
$ u(t) = $$ /$$ \big($ , $ \big)^{\operatorname t}\exp (\lambda_1 t) +$ $ /$$ \big($, $ \big)^{\operatorname t}\exp (\lambda_2 t)$

Alle Angaben als kleinstmögliche ganze Zahlen. Vektoren mit positiver zweiter Komponente angeben.


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1998)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017