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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 243: Abstand Punkt-Gerade, Schnitt von Quadriken, Hauptachsenrichtungen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Geben Sie eine Formel für den Abstand eines Punktes $ P$ von der Geraden $ G:\ t\vec{d}$ , $ t\in\mathbb{R}$ , $ \vec{d}=(1,1,1)^{\operatorname t}$ an und beschreiben Sie den Zylinder mit Achse $ g$ und Radius 1 durch eine Gleichung $ f(x,y,x) = 0$ . Geben Sie ebenfalls eine Gleichung für die Quadrik an, die durch Schnitt mit der $ x,y$ -Ebene entsteht. Bestimmen Sie deren Typ und die Richtungen der Hauptachsen.

Antwort:
Abstandsformel:
$ \vert\vec{d}-\vec{p}\vert$ ,      $ \displaystyle \sqrt{\vert\vec{p}\vert^2 -\frac{\vec{p}\cdot\vec{d}} {\vert\vec{d}\vert^2}}$ ,     $ \displaystyle \vert\vec{p}\vert^2 -\left(\frac{2} {\vert\vec{d}\vert^2}+1\right) \vec{p}\cdot\vec{d}$ .

Die Darstellung des Zylinders lautet
$ f(x,y,z)=$ $ x^2$ + $ y^2$ + $ z^2$    
  + $ xy$ + $ xz$ + $ yz$ + $ \,xyz$  
  + $ x$ + $ y$ + $ z$ $ -\ 3$ $ =0$

Die Quadrik, die durch den Schnitt mit der $ x,y$ -Ebene entsteht, lautet
$ f(x,y,z)=$ $ x^2$ + $ y^2$ + $ z^2$    
  + $ xy$ + $ xz$ + $ yz$ + $ \,xyz$  
  + $ x$ + $ y$ + $ z$ $ -\ 3$ $ =0$ ,

dabei handelt es sich um
Ellipse , Parabel , Hyperbel , schneidende Geraden
Die normierte Hauptachsenrichtung, bei der beide Komponenten positiv sind, lautet
$ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\big($ , $ \big)^{\operatorname t},$
die andere (mit positiver erster Komponente)
$ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\big($ , $ \big)^{\operatorname t}.$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1998)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017