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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 256: Differentialgleichung zweiter Ordnung, Taylor-Reihe

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Zeigen Sie, dass die Taylorkoeffizienten der Lösung $ \displaystyle{u(t)=\sum\limits_{j=0}^{\infty} a_j t^j}$ der Differentialgleichung

$\displaystyle (1-t^2)u''+2u=0$

eine Rekursion der Form $ \displaystyle {a_{j+2} = \frac{j+p}{j+q}\,a_j}$ erfüllen. Bestimmen Sie $ p$ und $ q$, sowie explizit die Koeffizienten $ a_j$ der Lösung mit den Anfangswerten $ u(0)=0$    und     $ u'(0)=1$.

Antwort:

$ p=$                 $ q=$
$ a_{2j+1} = \big($ $ +$$ j^2$ $ \big)/\big($ 1 $ +$ $ j^2$ $ \big)$                 $ a_{2j} =$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1998)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017